Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt (2015)

Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt  -  Mathematik in Kunst und Natur

Dr. Frank Morherr

Der Goldene Schnitt Φ = (1 + √5)/2 = 1,618… als Lösung der Gleichung Φ = a/b = (a+b)/a = 1 + 1/Φ ist in der mathematischen Literatur seit der Antike nachweisbar. Während er in der Renaissance unter anderem von Kepler in philosophische Zusammenhänge gestellt wurde, gilt er seit dem 19. Jahrhundert auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ideales Prinzip ästhetischer Proportionen. Demzufolge hat er bei der Proportionierung von Kunst und Bauwerken eine Rolle gespielt. Auch am menschlichen Körper werden wir Verhältnisse nahe dem Goldenen Schnitt kennenlernen; wer im Mathematikum in Gießen ist, kann das selbst nachmessen. Er taucht auch in der Natur bei Blütenständen von Pflanzen auf, die dadurch optimal von der Sonne beschienen werden, sowie bei Diagonalen von regelmäßigen Fünfecken.

Zunächst völlig unabhängig davon hat Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, die Folge a₀ = 0, a₁ = 1, a_n+2 = a_n+1 + a_n dazu benutzt, das Wachstum einer Kaninchenpopulation zu beschreiben. Die Folge ist divergent, erstaunlicherweise konvergiert aber der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern gegen den Goldenen Schnitt. Wir werden sehen, warum, und auch einige interessante Zusammenhänge mit dem Pascalschen Dreieck kennenlernen. Außerdem werden wir lernen, wie man durch Umarrangieren die Quadratmeterzahl seiner Wohnung vergrößern kann.