Forschung
Branching processes
Verzweigungsprozesse
Verzweigungsprozesse sind eine Klasse stochastischer Prozesse. Sie dienen der Modellierung biologischer Populationen bestehend etwa aus Menschen, Zellen oder Pflanzen und der Modellierung von Krebswachstum; sie werden aber auch als Modelle für Neutronenkettenreaktionen oder Fragmentierung verwendet. Sie finden sich teilweise eingebettet in Modellen der Angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie oder Theoretischen Informatik, zum Beispiel bei der Untersuchung von stochastischen Divide-and-Conquer-Algorithmen. In der Arbeitsgruppe analysieren wir verschiedene Verzweigungsprozesse wie das klassische Crump-Mode-Jagers-Modell oder den Branching Random-Walk, häufig mit dem Ziel, die zufälligen Fluktuationen wichtiger Modellgrößen zu verstehen.
Limit theorems in Probability Theory
Limit theorems in Probaility Theory
Many models in applied probability theory and statistical physics are too complicated to derive explicit formulas for important model variables. Weak and strong limit theorems allow such models to be approximated by “continuous” models, which are often easier to analyze. We study limit theorems for stochastic processes, for example for martingales, branching processes and shot noise processes with deterministic or random response function as well as for the test statistics in a problem of asymptotic test theory.
Mathematical Finance
Mathematical Finance
Wichtige Motivationen für die Stochastische Analysis und gleichzeitig deren prominente Anwendungen sind die Modellierung von Finanzmärkten, die Bewertung von Finanzprodukten, wie Optionen und Derivate, und die zugehörige Risikotheorie. Insbesondere betrachten wir Modelle mit sich ändernden zugrundeliegenden Regimen und Modelle mit affinen Strukturen. Auf der mehr angewandten Seite stehen Kreditrisiken und Energiemärkte im Vordergrund. Dazu gehört auch die Schätzung der jeweiligen Parameter mit statistischen Methoden aus dem Bereich der künstlichen Intelligenz und des Machine Learning.
Stochastische Analysis
Stochastische Analysis
Die Stochastische Analysis beschäftigt sich mit stochastischen Prozessen. Diese kann man auch als zufällige Funktionen ansehen. Durch den "Zufall" weisen diese Funktionen eine geringere Regularität auf, erweisen sich aber für viele Anwendungen als realistischer. In der Regel sind die Funktionen nicht differenzierbar und haben wie chaotische und fraktale Phänomene keine Länge, sind also von unendlicher Variation. Wir untersuchen insbesondere unendlich-dimensionale Prozesse wie maßwertige Diffusionen, (affine) Pfadprozesse und raue Prozesse.
Drittmittel
- DAAD project "Probability, Computation and Applied Stochastic Analysis" with the AIMS-Center in Kigali, Ruanda. 3 PhD students and 1 Postdoc (2024-2026).
- DFG project ME 3625/6-1 "Multivariate smoothing equations with coefficients from the general linear group". 1 Postdoc (2025-2027).
- DFG project ME 3625/5-1 "Non-Malthusian supercritical Crump-Mode-Jagers processes". 1 PhD student (2024-2027).
Selected Publications
- Iksanov, A., Kolesko, K., and Meiners, M.:
Asymptotic fluctuations in supercritical Crump-Mode-Jagers processes
Ann. Probab. 52 (2024), no. 4, 1538-1606 article arxiv - Alfeus, M., Nikitopoulos, C., and Overbeck, L.: Implied roughness in the term structure of oil markets
Quantitative Finance 24 (2024), 347-362 - Ackermann, J., Kruse, T., and Overbeck, L.:
Inhomogeneous affine Volterra Processes
Stochastic Process. Appl. 150 (2022), p. 250-279. - Meiners, M., and Mentemeier, S.: Solutions to complex smoothing equations
Probab. Theory Related Fields 168 (2017), 199–268. arxiv springerlink - Alsmeyer, G., and Meiners, M.: Fixed points of the smoothing transform: two-sided solutions
Probab. Theory Related Fields 155 (2013), no. 1-2, 165–199. arxiv springerlink - Alsmeyer, G., Biggins, J.D., and Meiners, M.: The functional equation of the smoothing transform
Ann. Probab. 40 (2012), no. 5, 2069-2105. pdf arxiv projecteuclid - Bluhm, C., Overbeck, L. and Wagner, C.:
Introduction to Credit Risk Modeling
Chapman & Hall. Boca Raton, Fl, USA. 2nd edition 2010 - Overbeck, L.: Non-linear superprocesses
Annals of Probability 24 (1996), 743-760.